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By J. Sander et al.

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6 haben wir a xp − 1 = d|pa Φd (x) = Φpa (x) · d|pa−1 Φd (x) = Φpa (x) · (xp a−1 − 1) . Wir differenzieren und setzen x = ζ, also a −1 pa · ζ p = Φpa (ζ) · (ζ p a−1 − 1) , a und somit wegen ζ p = 1 a−1 (∗) Φpa (ζ) · (ζ p Es ist ξ := ζ p a−1 − 1) · ζ = pa . eine primitive p-te Einheitswurzel, also p−1 NQ(ξ) (1 − ξ) = j=1 (1 − ξ j ) = Φp (1) = p wegen Φp (x) = (xp − 1)/(x − 1) = xp−1 + xp−2 + · · · + x + 1. 22 (ii) kommt wegen NQ(ζ) (−1) = ±1 NQ(ζ) (ξ − 1) = ±(NQ(ξ) (ξ − 1))p a−1 a−1 = ±pp . Da auch NQ(ζ) (ζ −1 ) = ±1, erhalten wir aus (∗) a−1 NQ(ζ) (Φpa (ζ)) · (±pp a a −pa−1 ) ) = NQ(ζ) (pa ) = (pa )ϕ(p ) = pa(p .

Offenbar l¨asst sich jedes σ ∈ F schreiben als σ = r1 + r2 √ D ε r1 , r 2 ∈ Q . 50 f¨ ur norm-euklidische Ringe ist ¨aquivalent zu: F¨ ur √ alle σ ∈ Q( D) existiert ein β ∈ OF mit |NF (σ − β)| < 1 . 43 haben wir also ein √ 1 β = (x + y D) ∈ OF ε (x, y ∈ Z) zu finden derart, dass (∗) |NF (σ − β)| = r1 − x ε 2 − 1 (r2 − y)2 D < 1 . ε2 Wir nehmen an, dass (∗) bei gegebenem r1 , r2 ∈ Q f¨ ur alle x, y ∈ Z verletzt ist. A. k¨onnen wir in (∗) voraussetzen, dass 0 ≤ ri ≤ 1/2 f¨ ur i = 1, 2 (ansonsten ersetzen wir x, y durch geeignete x , y ).

Dies sind genau die f¨ unf euklidischen Ringe OF mit ∆F < 0. h. die euklidische Funktion ist jeweils die Norm (bzw. allgemeiner der Betrag der Norm). Wir wollen nun reelle quadratische Zahlk¨orper untersuchen. h. OF ist norm-euklidisch). Beweis: Wir setzen   2 f¨ ur ε :=  1 f¨ ur D ≡ 1 mod 4, D ≡ 2, 3 mod 4. Offenbar l¨asst sich jedes σ ∈ F schreiben als σ = r1 + r2 √ D ε r1 , r 2 ∈ Q . 50 f¨ ur norm-euklidische Ringe ist ¨aquivalent zu: F¨ ur √ alle σ ∈ Q( D) existiert ein β ∈ OF mit |NF (σ − β)| < 1 .

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